Si au démarreur ça tourne correctement, c'est à dire que ça fait "pou pou pou" et pas "mweeee mweeeee mweeeee", c'est absolument inutile de suspecter la batterie ou le démarreur. Si ça tourne à peu près correctement, c'est bon pour ça un point c'est tout.
Sur un mazout après, la première cause de problèmes de démarrage à froid c'est le préchauffage, ou ... les compressions.
Les bougies et le relais de préchauffage c'est facile à vérifier avec un multimètre, en 10 minutes c'est diagnostiqué. Si les bougies sont coupées (résistance infinie), changer les bougies.
SI le 12V n'est pas présent sur les bougies pendant le préchauffage, il faut chercher du côté du système de préchauffage (relais, sonde de température, etc ...).
Un zout avec de bonnes compressions peut partir par -10°C sur une seule bougie (Transporter T3 avec des bougies en train de crever à 60000 km - vécu !). C'est dur mais ça démarre si la batterie tient le choc parce qu'il faut insister !
Donc si les bougies et le système de préchauffage sont ok, une vérification des compressions ne me paraît pas être du luxe, le moteur est peut-être rincé et là on pense à une segmentation.